Matematika Sebagai Ilmu Deduktif

Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaan matematik harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Meskipun demikian untuk membantu pemikiran, pada tahap-tahap permulaan seringkali kita memerlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometri.

Perlu pula diketahui bahwa baik isi maupun metode mencari kebenaran dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam apalagi dengan ilmu pengetahuan umumnya. Metode mencari kebenaran yang dipakai oleh matematika adalah ilmu deduktif, sedangkan oleh ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif atau eksperimen. Namun dalam matematika mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif, tetapi selanjutnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus bisa dibuktikan secara deduktif. Dalam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori atau dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.

Sebagai contoh dalam ilmu fisika, bila dengan percobaannya seseorang telah berhasil menunjukkan kepada kita bahwa ketika ia mengambil sebatang logam kemudian dipanaskan dan memuai, kemudian sebatang logam lainnya dipanaskan ternyata memuai lagi, dan seterusnya mengambil beberapa contoh jenis-jenis logam lainnya dan ternyata selalu memuai jika dipanaskan, maka ia dapat membuat kesimpulan atau generalisasi bahwa setiap logam yang dipanaskan itu memuai. Generalisasi yang dibuat secara induktif itu, dalam ilmu fisiska dibenarkan.

Contoh lainnya misalnya dalam ilmu biologi yang berdasarkan pada pengamatan dari beberapa bintang menyusui ternyata selalu melahirkan, sehingga kita bisa membuat generalisasi secara induktif bahwa setiap binatang menyusui adalah melahirkan.

Kedua contoh dalam ilmu fisiska dan ilmu biologi seperti tersebut di atas, secara matematika belum dapat dianggap sebagai generalisasi. Dalam matematika, contoh-contoh seperti itu baru dapat dianggap sebagai generalisasi bila kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.

Sekarang kita akan mengambil beberapa contoh generalisasi yang dibenarkan dan yang tidak dibenarkan dalam matematika. Generalisasi yang dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah dapat dibuktikan secara deduktif.

Contoh 1

Jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap

+	1	-3	5	7
1	2	-2	6	8
-3	-2	-6	2	4
5	6	2	10	12
7	8	4	12	14

 

Dari table penjumlahan ini, jelas bahwa setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap. Dalam matematika tidak dibenarkan membuat generalisasi atau membuktikan dengan cara demikian. Walaupun Anda menunjukkan sifat itu dengan mengambil beberapa contoh yang lebih banyak lagi, tetapi kita tidak dibenarkan membuat generalisasi yang mengatakan bahwa jumlah dua bilangan ganjil adalah genap, sebelum kita membuktikannya secara deduktif.

Misalkan pembuktian secara deduktif sebagai berikut : Andaikan m dan n sebarang dua bilangan bulat, maka 2m + 1 dan 2n + 1 tentunya masing-masing merupakan bilangan ganjil. Jika kita jumlahkan :

(2m + 1) + (2n + 1) = 2 (m + n + 1)

Karena m dan n bilangan bulat, maka (m + n + 1) bilangan bulat, sehingga 2 (m + n + 1) adalah bilangan genap. Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.

      Contoh 2

     Perhatikan table ketidaksamaan 2ⁿ < 2n + 2 untuk n anggota bilangan cacah.

N	2n < 2n + 2	Nilai Pernyataan
0	1 < 2	Benar
1	2 < 4	Benar
2	4 < 6	Benar

 

Jika kita membuktikan kebenaran ketidaksamaan itu secara induktif untuk n = 0, n = 1, dan n = 2 kita akan sampai pada generalisasi yang keliru yang mengatakan ketidaksamaan itu benar untuk n bilangan cacah. Dapat Anda periksa untuk n = 3, n = 4, n = 5, … , ternyata ketidaksamaan itu salah.

Dari uraian-uraian di atas, dapatlah kita simpulkan bahwa matematika itu merupakan ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan kepada observasi (induktif) tetapi generalisasi yang didasarkan pada pembuktian secara deduktif.

Mungkin Anda bertanya, bukanlah dalil-dalil/sifat-sifat/rumus-rumus dalam matematika itu ditemukan secara induktif (coba-coba, eksperimen, penelitian dan lain-lain). Memang betul, para matematisi itu menemukan (menyusun) matematika atau bagiannya itu secara induktif, tetapi begitu suatu pola, aturan, dalil, rumus yang merupakan generalisasi itu ditemukan, maka generalisasi itu harus dapat dibuktikan kebenarannya secara umum (deduktif).