Cosine Offset Curves from the Wolfram Demonstrations Project by Michael Trott
Jumat, 28 Desember 2012
Sabtu, 27 Oktober 2012
Matematika Sebagai Ilmu Deduktif
Matematika
dikenal sebagai ilmu deduktif. Ini berarti proses pengerjaan matematik harus
bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan
pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian deduktif. Meskipun
demikian untuk membantu pemikiran, pada tahap-tahap permulaan seringkali kita
memerlukan bantuan contoh-contoh khusus atau ilustrasi geometri.
Perlu pula
diketahui bahwa baik isi maupun metode mencari kebenaran dalam matematika
berbeda dengan ilmu pengetahuan alam apalagi dengan ilmu pengetahuan umumnya.
Metode mencari kebenaran yang dipakai oleh matematika adalah ilmu deduktif,
sedangkan oleh ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif atau eksperimen.
Namun dalam matematika mencari kebenaran itu bisa dimulai dengan cara induktif,
tetapi selanjutnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus bisa
dibuktikan secara deduktif. Dalam matematika, suatu generalisasi, sifat, teori
atau dalil itu belum dapat diterima kebenarannya sebelum dapat dibuktikan
secara deduktif.
Sebagai
contoh dalam ilmu fisika, bila dengan percobaannya seseorang telah berhasil
menunjukkan kepada kita bahwa ketika ia mengambil sebatang logam kemudian
dipanaskan dan memuai, kemudian sebatang logam lainnya dipanaskan ternyata
memuai lagi, dan seterusnya mengambil beberapa contoh jenis-jenis logam lainnya
dan ternyata selalu memuai jika dipanaskan, maka ia dapat membuat kesimpulan
atau generalisasi bahwa setiap logam yang dipanaskan itu memuai. Generalisasi
yang dibuat secara induktif itu, dalam ilmu fisiska dibenarkan.
Contoh
lainnya misalnya dalam ilmu biologi yang berdasarkan pada pengamatan dari
beberapa bintang menyusui ternyata selalu melahirkan, sehingga kita bisa
membuat generalisasi secara induktif bahwa setiap binatang menyusui adalah
melahirkan.
Kedua
contoh dalam ilmu fisiska dan ilmu biologi seperti tersebut di atas, secara
matematika belum dapat dianggap sebagai generalisasi. Dalam matematika,
contoh-contoh seperti itu baru dapat dianggap sebagai generalisasi bila
kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.
Sekarang
kita akan mengambil beberapa contoh generalisasi yang dibenarkan dan yang tidak
dibenarkan dalam matematika. Generalisasi yang dibenarkan dalam matematika
adalah generalisasi yang telah dapat dibuktikan secara deduktif.
Contoh 1
Jumlah dua buah bilangan
ganjil adalah bilangan genap
+
|
1
|
-3
|
5
|
7
|
1
|
2
|
-2
|
6
|
8
|
-3
|
-2
|
-6
|
2
|
4
|
5
|
6
|
2
|
10
|
12
|
7
|
8
|
4
|
12
|
14
|
Dari table penjumlahan ini, jelas
bahwa setiap dua bilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalu genap. Dalam matematika tidak dibenarkan membuat
generalisasi atau membuktikan dengan cara demikian. Walaupun Anda menunjukkan
sifat itu dengan mengambil beberapa contoh yang lebih banyak lagi, tetapi kita
tidak dibenarkan membuat generalisasi yang mengatakan bahwa jumlah dua bilangan
ganjil adalah genap, sebelum kita membuktikannya secara deduktif.
Misalkan
pembuktian secara deduktif sebagai berikut : Andaikan m dan n sebarang dua
bilangan bulat, maka 2m + 1 dan 2n + 1 tentunya masing-masing merupakan
bilangan ganjil. Jika kita jumlahkan :
(2m + 1) + (2n + 1) = 2 (m + n
+ 1)
Karena m dan n bilangan bulat,
maka (m + n + 1) bilangan bulat, sehingga 2 (m + n + 1) adalah bilangan genap.
Jadi jumlah dua bilangan ganjil selalu genap.
Contoh 2
Perhatikan table ketidaksamaan 2n
< 2n + 2 untuk n anggota bilangan cacah.
N
|
2n <
2n + 2
|
Nilai Pernyataan
|
0
|
1 < 2
|
Benar
|
1
|
2 < 4
|
Benar
|
2
|
4 < 6
|
Benar
|
Jika kita membuktikan kebenaran
ketidaksamaan itu secara induktif untuk n = 0, n = 1, dan n = 2 kita akan
sampai pada generalisasi yang keliru yang mengatakan ketidaksamaan itu benar
untuk n bilangan cacah. Dapat
Anda periksa untuk n = 3, n = 4, n = 5, … , ternyata ketidaksamaan itu salah.
Dari
uraian-uraian di atas, dapatlah kita simpulkan bahwa matematika itu merupakan
ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan kepada observasi
(induktif) tetapi generalisasi yang didasarkan pada pembuktian secara deduktif.
Mungkin
Anda bertanya, bukanlah dalil-dalil/sifat-sifat/rumus-rumus dalam matematika
itu ditemukan secara induktif (coba-coba, eksperimen, penelitian dan
lain-lain). Memang betul, para matematisi itu menemukan (menyusun) matematika
atau bagiannya itu secara induktif, tetapi begitu suatu pola, aturan, dalil,
rumus yang merupakan generalisasi itu ditemukan, maka generalisasi itu harus
dapat dibuktikan kebenarannya secara umum (deduktif).
Jumat, 26 Oktober 2012
Pengertian Matematika
Seperti kata Abrahan S Lunchins dan Edith N Lunchins
(1973): “In short, the question what is mathematics? May be answered
difficulty depending on when the question is answered, where it is answered,
who answer it, and what is regarded as being included in matematics.”
Pendeknya: “Apakah matematika itu?” dapat dijawab secara berbede-beda
tergantung pada bilamana pertanyaan itu dijawab, di mana dijawab, siapa yang
menjawab, dan apa sajakah yang dipandang termasuk dalam matematika.”
Dengan demikian uuntuk menjawab pertanyaan “Apakah
matematika itu?” tidak dapat dengan mudah dijawab dengan satu atau dua kalimat
begitu saja, oleh karena itu kita harus berhati-hati. Berbagai pendapat muncul
tentang pengertian matematika tersebut, dipandang dari pengetahuan dan
pengalaman masing-masing yang berbeda.Ada yang mengatakan bahwa matematika itu
bahasa symbol; matematika adalah bahasa numeric; matematika adalah bahasa yang
dapat menghilangkan sifat kabur; majemuk, dan emosional; matematika adalah
metode berpikir logis; matematika adalah sarana berpikir; matematika adalah
logika pada masa dewasa; matematika adalah ratunya ilmu dan sekaligus
pelayannya; matematika adalah sains mengenai kuantitas dan besaran; matematuka
adalah suatu sains yang bekerja menarik kesimpulan-kesimpulan yang perlu;
matematika adalah sains formal yang murni; matematika adalah sains yang
memanipulasi symbol; matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang;
matimatika adalah ilmu yang mempelajari hubungan pola, bentuk, dan struktur;
matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif, matematika adalah aktivitas
manusia.
Istilah mathematics (Inggris), mathematic (Jerman),
mathematique (Perancis), matematico (Itali), matematiceski (Rusia), atau
mathematick/wiskunde ( Belanda) berasal dari perkataan latin mathematica, yang
mulanya diambil dari perkataan Yunani, mathematike, yang berarti “relating to
learning”. Perkataan itu mempunyai akar kata mathema yang berarti pengetahuan
atau ilmu (knowledge, science). Perkataan mathematike berhubungan sangat erat
dengan sebuah kata lainya yang serupa, yaitu mathanein yang mengandung arti belajar
(berpikir).
Jadi berdasarkan etimologis (Elea Tinggih, 1972:5).
Perkataan matematika berarti “ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernakar”.
Hal ini dimaksudkan bukan berarti ilmu lain diperoleh tidak melalui penalaran,
akan tetapi dalam matematika lebih menekankan aktivitas dalam dunia rasio
(penalaran), sedangkan dalam ilmu lain lebih menekankan hasil observasi atau
eksperimen disamping penalaran. Matematika terbentuk sebagai hasil pemikiran
manusia yang berhubungan dengan ide, proses dan penalaran (Ruseffendi ET,
1980:148). Pada tahap awal matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam
dunianya secara empiris, karena matematika sebagai aktivitas manusia kemudian
pengalaman itu diproses dalam dunia rasio, diolah secara analisis dan sintesis dengan
penalaran didalam struktur kognitif, sehingga sampailah pada suatu kesimpulan
berupa konsep-konsep matematika. Agar konsep-konsep matematika yang telah
terbentuk itu dapat dipahami orang lain dan dapat dengan mudah dimanipulasi
secara tepat, maka digunakan notasi dan istilah yang cermat yang disepakati
bersama secara global (universal) yang dikenal dengan bahasa matematika.
James dan James (1976) dalam kamus matematikanya
mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk,
susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya
dengan jumlah yang banyak yang terbagike dalam tiga bidang, yaitu aljabar,
analisis dan geometri. Namun pembagian yang jelas sangatlah sukar untuk dibuat,
sebab cabang-cabang itu semakin bercampuran. Sebagai contoh, adanya pendapat
yang mengatakan bahwa matematika itu timbul karena pikiran-pikiran manusia yang
berhubungan dengan ide, proses, dan penalaran yang terbagi menjadi empat
wawasan yang luas, yaitu aritmatika, aljabar, geometrid an analisis dengan
aritmatika mencakup teori bilangan dan statistika.
Namun ada pula kelompok lain yang berpandangan bahwa
ilmu computer dan statistika bukan bagian dari matematika. Kelompok
matematikawan ini berpendapat bahwa matematika adalah ilmu yang dikembangkan
untuk matematika itu sendiri. Ilmu adalah untuk ilmu, matematika itu adalah
ilmu yang dikembangkan untuk kepentingan sendiri. Ada atau tidak adanya
kegunaan matematika, bukanlah urusannya. Menurut pendapatnya, matematika itu
adalah ilmu tentang struktur yang bersifat deduktif atau aksiomatik, akurat,
ketat, dan sebagainya. Bagaimana menurut pendapat Anda? Walaupun pendapat ini
benar, tetapi dapat menyebabkan pengajaran matematika itu kering, kurang
kaitannya dengan kehidupan sehari-hari, sukar dan semacamnya.
Johnson dan Rising (1972) dalam bukunya mengatakan bahwa
matematika adalah pola piker, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logic,
matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan
cermat, jelas, dan akurat, representasinya dengan symbol dan padat, lebih
berupa bahasa symbol mengenai ide daripada mengenai bunyi.
Reys, dkk. (1984) dalam bukunya mengatakan bahwa
matematika adalah telaah tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola
berpikir, suatu seni, suatu bahasa, dan suatu alat.
Kemudian Kline (1973) dalam bukunya mengatakan pula,
bahwa matematika itu bukanlah pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena
dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia
dalam memahami dan menguasai permasalahan social, ekonomi, dan alam.
Matematika tumbuh dan
berkembang karena proses berpikir, oleh karena itu logika adalah dasar untuk
terbentuknya matematika. Logika adalah masa bayi dari matematika, sebaliknya
matematika adalah masa dewasa dari logika. Pada permulaannya cabang-cabang
matematika yang ditemukan adalah Aritmatika atau Berhitung, Aljabar dan
Geometri. Setelah itu ditemukan Kalkulus yang berfungsi sebagai tonggak
penopang terbentuknya cabang matematika baru yang lebih kompleks, antara lain
Statistik, Topologi, Aljabar (Linear, Abstrak, Himpunan), Geometri (Sistem
Geometri, Geometri Linear), Analisis Vektor, dan lain-lain.
Masih banyak lagi
definisi-definisi tentang matematika, tetapi tidak satu pun perumusan yang
dapat diterima umum, atau sekurang-kurangnya dapat diterima dari berbagai sudut
pandang.
Rambut kepala sama hitam, lain
orang lain pendapat. Kita tidak menyalahkan pendapat-pendapat itu karena memang
ada benarnya. Gajah seperti tiang listrik ada benarnya tetapi hanya untuk kakinya,
gajah seperti tali ada benarnya tapi hanya untuk ekornya, gajah seperti pipa
ada benarnya tapi hanya untuk telinganya yang lebar. Begitu pendapat orang buta
mengenai gajah yang mereka pegang. Akan tetapi apakahpengertian gajah hanya
sampai di sana? Tentu saja tidak! Agar lebih seksama memahami tentang gajah
haruslah kita ketahui secara keseluruhan gajah itu, keseluruhan fisiknya, cara
hidupnya, dan segala sesuatu yang berhubungan dengan gajah. Untuk ini kita
memerlukan waktu yang cukup lama untuk dapat mengetahuinya secara benar.
Begitu pula dengan matematika,
dikatakan bahasa atau sarana berpikir ada benarnya juga. Hanya apakah
pengertian matematika hanya sampai di situ? Tentunya tidak! Matematika jauh
dari hanya sekedar bahasa dan sarana berpikir. Yang jelas, matematika mencakup
bahasa, bahasa khusus yang disebut bahasa matematika. Dengan matematika kita
dapat berlatih berpikir secara logis, dan dengan matematika ilmu pengetahuan
lainnya bisa berkembang dengan cepat.
Dari definisi-definisi di
atas, kita sedikit punya gambaran pengertian tentang matematika itu, dengan
menggabungkan pengertian dari definisi-definisi tersebut. Semua definisi itu
dapat kita terima, karena memang matematika dapat ditinjau dari segala ssudut,
dan matematika itu sendiri bisa memasuki seluruh segi kehidupan manusia, dari
yang paling sederhana sampai kepada yang paling kompleks.
Dengan uraian-uraian di atas
mudah-mudahan cakrawala pengertian kita tentang matematika makin bertambah
luas, tidak terlalu sempit dengan hanya memandang dari satu segi saja. Akan
tetapi walaupun diberikan dengan panjang lebar secara tertulis atau secara
lisan penjelasannya, tidak akan memberikan jawaban secara utuh yang dapat
dipahami secara menyeluruh tentang apa matematika itu. Ibarat enaknya masakan
meskipun diceritakan dengan bahasa yang bagaimanapun indahnya, tanpa mencobanya
tak akan terasa enak. Tapi meskipun demikian mudah-mudahan sedikit banyak dapat
menambah luasnya cakrawala pengetahuan kita. Benar sekali seperti diucapkan
oleh Courant dan Robbin bahwa untuk dapat mengetahui apa matematika itu
sebenarnya, seseorang harus mempelajari sendiri ilmu matematika itu, yaitu
dengan mempelajari, mengkaji, dan mengerjakannya. Termasuk pengkajian sejauh
timbulnya matematika dan perkembangannya.
Langganan:
Postingan (Atom)